Оригинальные учебные работы для студентов


Контрольная работа по комплексным числам с решениями

Сопряженным к z называется комплексное число: Множество комплексных чисел расширяет множество вещественных чисел, которое в свою очередь расширяет множество рациональных чисел и т. Эту цепочку вложений можно рассмотреть на рисунке: N — натуральные числа, Z — целые, Q — рациональные, R — вещественные, C — комплексные.

Контрольная работа по комплексным числам, пределам

Представление комплексных чисел Алгебраическая форма записи. Эту форму записи мы уже подробно разобрали в предыдущем разделе. Довольно часто используют следующий наглядный рисунок Тригонометрическая форма. Такое представление комплексного числа называется тригонометрической формой.

Решение задач с комплексными числами

Тригонометрическая форма записи порой очень удобна. Такая форма записи так же очень удобна для возведения комплексного числа в степень: Такая форма записи довольно часто используется для решения задач. Очевидно, что дискриминант этого уравнения отрицателен и вещественных корней оно не имеет, но оказывается, что это уравнение имеет два различных комплексных корня. Так вот, основная теорема высшей алгебры утверждает, что любой многочлен степени n имеет хотя бы один комплексный корень.

Главные вкладки

Из этого следует, что любой многочлен степени n имеет ровно n комплексных корней с учетом их кратности. Эта теорема является очень важным результатом в математике и широко применяется.

Контрольная работа №1 вариант 7

Простым следствием из этой теоремы является такой результат: Основные типы задач В этом разделе будут рассмотрены основные типы простых задач на комплексные числа. Условно задачи на комплексные числа можно разбить на следующие категории. Выполнение простейших арифметических операций над комплексными числами. Нахождение корней многочленов в комплексных числах.

  1. Заключение Комплексные числа широко применяются в математике, в этой обзорной статье были рассмотрены основные операции над комплексным числами, описаны несколько типов стандартных задач и кратко описаны общие методы их решения, для более подробного изучения возможностей комплексных чисел рекомендуется использовать специализированную литературу.
  2. К сожалению, в таблице отсутствует значение , поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде. Нахождение корней многочленов в комплексных числах.
  3. Множество комплексных чисел расширяет множество вещественных чисел, которое в свою очередь расширяет множество рациональных чисел и т. Расскажу о забавном способе проверки.
  4. Аргумент можно записать двумя способами. Представим в тригонометрической форме число.
  5. Вы убедитесь, что действительно. Извлечение корней из комплексных чисел.

Возведение комплексных чисел в степень. Извлечение корней из комплексных чисел.

Комплексные числа для чайников

Применение комплексных чисел для решения прочих задач. Теперь рассмотрим общие методики решения этих задач. Выполнение простейших арифметических операций с комплексными числами происходит по правилам описанным в первом разделе, если же контрольная работа по комплексным числам с решениями числа представлены в тригонометрической или показательной формах, то в этом случае можно перевести их в алгебраическую форму и производить операции по известным правилам.

Нахождение корней многочленов как правило сводится к нахождению корней квадратного уравнения. Предположим, что у нас есть квадратное уравнение, если его дискриминант неотрицателен, то его контрольная работа по комплексным числам с решениями будут вещественными и находятся по известной формуле. Теперь с легкостью найдем корни: Возведение комплексных чисел в степень можно выполнять несколькими способами. Если требуется возвести комплексное число в алгебраической форме в небольшую степень 2 или 3то можно сделать это непосредственным перемножением, но если степень больше в задачах она часто бывает гораздо большето нужно записать это число в тригонометрической или показательной формах и воспользоваться уже известными методами.

Запишем z в показательной форме: Вернемся к алгебраической форме: Извлечение корней из комплексных чисел является обратной операцией по отношению к операции возведения в степень, поэтому производится аналогичным образом.

Контрольная работа по алгебре на тему:Комплексные числа

Для извлечения корней довольно часто используется показательная форма записи числа. Найдем все корни степени 3 из единицы. Или в алгебраической форме: Последний тип задач включается в себя огромное множество задач и нет общих методов их решения.

  • Нахождение корней многочленов как правило сводится к нахождению корней квадратного уравнения;
  • Хоть в формулировке этой задачи и не идет речь о комплексных числах, но с их помощью ее можно легко решить;
  • На чертеже угол обозначен синим цветом;
  • Представим в тригонометрической форме число.

Приведем простой пример такой задачи: Хоть в формулировке этой задачи и не идет речь о комплексных числах, но с их помощью ее можно легко решить. Для ее решения используются следующие представления: Если теперь подставить это представление в сумму, то задача сводится к суммированию обычной геометрической прогрессии.

Заключение Комплексные числа широко применяются в математике, контрольная работа по комплексным числам с решениями этой обзорной статье были рассмотрены основные операции над комплексным числами, описаны несколько типов стандартных задач и кратко описаны общие методы их решения, для более подробного изучения возможностей комплексных чисел рекомендуется использовать специализированную литературу.

Литература Здесь конкретных рекомендаций не будет, так как почти во всех задачниках по высшей математике есть задачи на комплексные числа.

VK
OK
MR
GP